转动惯量计算公式

转动惯量是描述物体绕轴旋转时惯性大小的物理量，其计算公式因物体的质量分布和转轴位置的不同而有所变化。以下是关于转动惯量的主要公式及相关定理的详细介绍。

一、基本公式

对于质量为m的质点，距离转轴r，其转动惯量的计算公式为：I = m r^2。如果我们将物体视为无数质量元dm的积分，则转动惯量的计算公式为：I = ∫ r^2 dm。若物体的密度为ρ，则dm = ρ dV，公式可进一步写为：I = ∫ ρ r^2 dV。

二、常见几何体的转动惯量

1. 细杆：细杆绕端点时，其转动惯量的计算公式为I = (1/3) m L^2；绕中心时，则为I = (1/12) m L^2。

2. 圆盘/圆柱：对于圆盘或圆柱，当绕中心轴旋转时，其转动惯量的计算公式为I = (1/2) m R^2；对于薄壁圆环，其转动惯量的计算公式为I = m R^2。

3. 球体：实心球绕直径旋转时，其转动惯量的计算公式为I = (2/5) m R^2；而空心球壳的转动惯量计算公式为I = (2/3) m R^2。

三、重要定理

1. 平行轴定理：物体绕任意轴的转动惯量I等于绕通过质心的平行轴的转动惯量Icm加上质量m与两轴距离平方d^2的乘积，即I = Icm + m d^2。

2. 垂直轴定理（仅适用于薄板）：薄板绕平面内两垂直轴的转动惯量Ix和Iy之和等于绕垂直于平面的轴的转动惯量Iz，即Iz = Ix + Iy。

四、示例推导（细杆绕端点）

假设细杆的线密度为λ = m/L，质量元dm = λdx。通过对转动惯量的积分，我们可以得到细杆绕端点的转动惯量公式：I = ∫x^2 λ dx = λ (L^3/3) = (1/3) m L^2。这些公式和定理为计算不同形状物体的转动惯量提供了系统的方法论。在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的公式或结合定理来简化计算。理解并应用这些公式和定理，将有助于我们更好地理解和分析物体的转动惯量，进一步推动物理学和相关领域的发展。