傅里叶变换公式

角频率 $\\omega$ 的三种变换形式

在信号处理和数学领域中，角频率 $\omega$ 是重要的概念，广泛应用于正变换和逆变换。将介绍三种不同的变换形式及其特点。

一、非对称归一化（角频率 $\omega$）

正变换公式：

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$

特点：正变换无系数，常见于工程领域。逆变换包含 $\frac{1}{2\pi}$。这种形式的变换在工程领域尤为常用，因为它能够方便地处理各种信号。

二、对称归一化（角频率 $\omega$）

正变换公式：

$F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$

逆变换公式：

$f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega$

特点：正变换和逆变换均包含 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$，保持对称性。这种形式常见于数学领域，因为它有助于保持数学上的对称性和一致性。

三、频率变量 $f$（无额外系数）

正变换公式：

$F(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i2\pi f t} dt$

逆变换公式：

$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} F(f) e^{i2\pi f t} df$

特点：通过替换 $\omega = 2\pi f$，积分变量变为 $f$，无需额外系数，形式对称。这种形式在处理频率变量时更为直观和方便。

关于角频率 $\omega$ 和普通频率 $f$ 的比较：角频率公式包含 $\omega$ 和 $\frac{1}{2\pi}$；普通频率公式通过 $f = \omega/(2\pi)$ 消除系数。在实际应用中，可以根据需要选择合适的表达式。

三种形式的变换都有其特定的应用场景和特点。工程领域更倾向于使用非对称归一化形式，而数学领域则更倾向于对称归一化形式。选择哪种形式取决于具体的应用需求和场景。