向心加速度公式

几何方法的：圆周运动中的速度、加速度与矢量变化

当我们观察一个物体沿着半径为r的圆周以速率v运动时，我们可以从几何的角度其速度与加速度的变化。

考虑速度矢量的变化。在相邻的时刻t和t+Δt，速度矢量vA和vB的大小是相同的，但方向却有所不同。当Δt极小时，速度方向改变的角度θ近似为θ = vΔt/r（弧长公式）。

接下来，我们计算速度变化量Δv的模长。利用矢量差的模长公式，当θ很小时，|Δv|≈vθ = vΔt/r。

进一步推导，我们可以得到加速度的公式。加速度a是当Δt趋于0时，Δv与Δt的比值的极限，即a = v/r，方向指向圆心。

接下来，我们在极坐标系下对矢量进行分析。位置矢量可以表示为r=rer，速度矢量可以表示为v=rωeθ（其中ω=v/r为角速度）。通过对速度求导，我们可以得到加速度矢量a = dv/dt = -rωer，即a = ωr = v/r。

我们还可以使用参数方程法来推导。设x(t) = rcos(ωt)，y(t) = rsin(ωt)。通过求二阶导数，我们可以得到加速度在x轴和y轴上的分量。合成的加速度大小为|a| = ωr = v/r，方向同样指向圆心。

无论采用哪种方法，我们得到的向心加速度公式都是a = v/r。这个公式告诉我们，即使在速率不变的情况下，方向的改变也会产生加速度。其大小与速度的平方成正比，与半径成反比，或者可以理解为与角速度的平方和半径的乘积成正比。这个向心加速度总是指向圆心的方向。