已知数列an的前n项和

通项公式的奥秘

对于数列${a_n}$，通项公式为我们揭示了一种关键的规律。当$n \geq 2$时，通项$a_n$的神秘面纱被揭开，它等于数列的前n项和$S_n$减去前n-1项的和$S_{n-1}$。而对于初始项$n=1$，我们有$a_1 = S_1$^[3][6]^。这简单的公式背后隐藏着数学的深刻智慧。

在实际应用中，我们需要注意几个关键点。验证初始项是至关重要的。如果通过公式计算出的$a_1$与给定的$S_1$不一致，那么我们需要分段表示通项。表达式的化简也是不可忽视的一环。如果$S_n$是一个多项式（如二次函数），那么通项$a_n$可能呈现为一次函数或其他形式。

让我们通过一个示例来深入理解这一过程。假设已知$S_n = 2n^2 + n$，我们如何求出$a_n$呢？

我们需要计算$S_{n-1}$，这是一个关键步骤。通过代入$n-1$，我们得到$S_{n-1} = 2(n-1)^2 + (n-1)$，进一步简化为$S_{n-1} = 2n^2 - 3n + 1$。接下来，当$n \geq 2$时，我们利用通项公式求出$a_n = S_n - S_{n-1}$，即$(2n^2 + n) - (2n^2 - 3n + 1) = 4n - 1$。我们需要验证这一结果在$n=1$时是否成立，发现确实如此^[6]^。最终的通项为$a_n = 4n - 1$，对所有正整数n都成立。

我们还会遇到一些特殊情况。如果$S_n$的表达式含有参数（如递推关系中的参数），我们需要结合递推关系进行转化求解^[8]^。例如，我们可以通过建立$S_n$与$S_{n-1}$的差式递推公式来求解出$a_n$的通项。每一个步骤都蕴含着数学的智慧与技巧，需要我们细心揣摩与。